فعالیت الف توابع نمایی و اعداد گویای نمایی حسابان یازدهم
در نمودار فعالیت قبل، طول نقاط مشخص شده اعداد صحیح نامنفی هستند. میتوان طول نقاطی از آن نمودار، با طول اعداد گویا را نیز به دست آورد.
الف) جاهای خالی جدول را با قرار دادن اعداد مناسب پر کنید.
| $x$ | $-۳$ | $-۲$ | $-۱$ | $۰$ | $\frac{۱}{۳}$ | $\frac{۱}{۲}$ | $\frac{۲}{۳}$ | $۱$ | $\frac{۳}{۲}$ | $۲$ | $۳$ |
| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
| $f(x)$ | $۲^{-۳}$ | $۲^{-۲}$ | $\dots$ | $۲^{۰}$ | $۲^{\frac{۱}{۳}}$ | $\dots$ | $۲^{\frac{۲}{۳}}$ | $\dots$ | $\dots$ | $۲^{۲}$ | $۲^{۳}$ |
| $f(x)$ | $\frac{۱}{۸}$ | $\dots$ | $\dots$ | $\dots$ | $\sqrt[۳]{۲} \approx ۱.۲۶$ | $\sqrt{۲} \approx ۱.۴۱$ | $\sqrt[۳]{۴} \approx ۱.۵۹$ | $\dots$ | $\sqrt{۸} \approx ۲.۸۳$ | $\dots$ | $\dots$ |
پاسخ تشریحی و گام به گام فعالیت الف صفحه ۷۳ حسابان یازدهم
سلام دانشآموزان عزیز! این فعالیت به شما کمک میکند تا مفهوم **توانهای گویا** در **تابع نمایی** $\mathbf{f(x) = ۲^x}$ را درک کنید. توانهای گویا ($x = \frac{m}{n}$) به معنی **جذر $n$ام** هستند: $\mathbf{a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}}$. 📈
### تکمیل جدول
باید مقادیر $f(x) = ۲^x$ را برای مقادیر $x$ داده شده در دامنه محاسبه کنیم.
| $x$ | $-۳$ | $-۲$ | $-۱$ | $۰$ | $\frac{۱}{۳}$ | $\frac{۱}{۲}$ | $\frac{۲}{۳}$ | $۱$ | $\frac{۳}{۲}$ | $۲$ | $۳$ |
| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
| $\mathbf{۲^x}$ | $۲^{-۳}$ | $۲^{-۲}$ | $\mathbf{۲^{-۱}}$ | $۲^{۰}$ | $۲^{\frac{۱}{۳}}$ | $\mathbf{۲^{\frac{۱}{۲}}}$ | $۲^{\frac{۲}{۳}}$ | $\mathbf{۲^{۱}}$ | $\mathbf{۲^{\frac{۳}{۲}}}$ | $۲^{۲}$ | $۲^{۳}$ |
| $\mathbf{f(x)}$ | $\frac{۱}{۸}$ | $\mathbf{\frac{۱}{۴}}$ | $\mathbf{\frac{۱}{۲}}$ | $\mathbf{۱}$ | $\sqrt[۳]{۲} \approx ۱.۲۶$ | $\sqrt{۲} \approx ۱.۴۱$ | $\sqrt[۳]{۴} \approx ۱.۵۹$ | $\mathbf{۲}$ | $\sqrt{۸} \approx ۲.۸۳$ | $\mathbf{۴}$ | $\mathbf{۸}$ |
### محاسبات گام به گام
1. **$x = -۲$**: $۲^{-۲} = \frac{۱}{۲^۲} = \mathbf{\frac{۱}{۴}}$
2. **$x = -۱$**: $۲^{-۱} = \mathbf{\frac{۱}{۲}}$
3. **$x = ۰$**: $۲^{۰} = \mathbf{۱}$
4. **$x = \frac{۱}{۲}$**: $۲^{\frac{۱}{۲}} = \mathbf{\sqrt{۲}}$. مقدار تقریبی آن در جدول داده شده است.
5. **$x = \frac{۲}{۳}$**: $۲^{\frac{۲}{۳}} = \sqrt[۳]{۲^۲} = \sqrt[۳]{۴}$. مقدار تقریبی آن در جدول داده شده است.
6. **$x = ۱$**: $۲^{۱} = \mathbf{۲}$
7. **$x = \frac{۳}{۲}$**: $۲^{\frac{۳}{۲}} = \sqrt{۲^۳} = \sqrt{۸}$. مقدار تقریبی آن در جدول داده شده است.
8. **$x = ۲$**: $۲^{۲} = \mathbf{۴}$
9. **$x = ۳$**: $۲^{۳} = \mathbf{۸}$
